CATHODE COMMUNE AVEC RESISTANCE DE CATHODE DECOUPLEE

Cet article a pour objectif d'établir la fonction de transfert de l'étage en cathode commune avec résistance de cathode découplée et d'analyser son comportement en phase.

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Par rapport au chapitre précédent, où nous avions supposé la résistance de cathode nulle en raison de son découplage, nous allons à présent l’introduire dans l’analyse. Nous considérerons que cet étage fonctionne en régime sinusoïdal forcé, c'est-à-dire que le générateur basses fréquences impose la pulsation au circuit. Cela nous permettra d'utiliser des nombres complexes pour l'analyse. Toutefois, cette approche ne permet pas d'étudier le comportement du circuit en régime transitoire.

SCHEMA EQUIVALENT DU CIRCUIT EN ALTERNATIF

 

Avant toute chose, dressons le schéma équivalent de ce circuit.

 

Montage en cathode commune	Schéma équivalent en alternatif

 

Avant de calculer le gain, défini comme le rapport entre l'entrée E et la sortie S, ainsi que le comportement en phase, il est essentiel d'examiner deux situations :

1.    Lorsque la fréquence tend vers zéro.

2.    Lorsque la fréquence tend vers l'infini.

Ces deux cas sont détaillés dans le chapitre suivant. Il est à noter que la démonstration qui suit ne tient pas compte des capacités parasites interélectrodes et avec le filament. Ce point sera traité dans l'article concernant l'effet Miller.

 

GAIN AUX LIMITES DE FREQUENCES.

 

L'équation du gain de cet étage peut prendre deux formes selon que la fréquence appliquée soit nulle ou tend vers l'infini. Le tableau ci-dessous illustre ces deux cas.

Modèle équivalent si la fréquence tend vers zéro.	Modèle équivalent si la fréquence tend vers l'infini.
Gain si la fréquence tend vers zéro	Gain si la fréquence tend vers l'infini
(1)	(2)

L’équation (1) est valable pour une pulsation tendant vers zéro, c'est-à-dire en régime basse fréquence où l'effet du découplage de la résistance de cathode est négligeable.

L’équation (2) du montage avec résistance de cathode découplée est valable pour une pulsation tendant vers l’infini c'est-à-dire en régime haute fréquence où l'effet du découplage de la résistance de cathode maximum

DETERMINATION DE L’IMPEDANCE EQUIVALENTE RC

 

Avant toute chose, il est essentiel de déterminer l’impédance (Z)  du circuit RC, car elle influencera directement le gain et la réponse en fréquence de l’étage en cathode commune.

(3)

 

En multipliant le numérateur et le dénominateur par R dans l’équation (3), nous obtenons :

(4)

 

 

Il est maintenant possible d’exprimer l’équation du gain (1) en tenant compte de l’impédance du filtre RC (4) , ce qui nous permettra d’analyser plus précisément son influence sur la réponse en fréquence du circuit.

(1)

 

CALCUL DE LA TRANSMITTANCE COMPLEXE DU GAIN

L’équation du gain du circuit avec résistance de cathode découplée

 

(5)

 

 

Afin de calculer la transmittance et la phase, il est essentiel de réécrire cette équation sous la forme de deux nombres complexes, aussi bien au numérateur qu’au dénominateur de la manière suivante :

(6)

 

 

Dans un premier temps, déterminons le gain lorsque le condensateur est découplé, c'est-à-dire lorsque son impédance est suffisamment faible pour que la résistance de cathode soit court-circuitée en haute fréquence. L'expression du gain s'écrit alors :

(7)

Pour cela factorisons le dénominateur par : (Ra+ρ)

ceci qui permet de mettre l’équation sous une forme plus exploitable pour l’analyse en nombres complexes :

(8)

 

 

Nous pouvons alors écrire l'expression du gain sous la forme :

(9)

 

Multiplions  maintenant le numérateur et le dénominateur par  (1+jRCω),afin de simplifier l'expression et de mettre l'équation sous une forme plus adaptée à l'analyse en nombres complexes :

(9)

Regroupons maintenant les termes en séparant les parties réelles et imaginaires, afin d’exprimer l’équation sous une forme exploitable pour l’analyse en transmittance et en phase :

(10)

Il est possible de simplifier davantage cette équation en introduisant les notations suivantes :

et

 

Puisque notre équation est désormais sous la forme :

 

Nous pouvons la réécrire en utilisant les substitutions précédentes

Cette expression est maintenant prête pour l'analyse de la transmittance et de la phase du circuit, elle correspond à la forme générale d'un filtre passe-haut du premier ordre.

ANALYSE QUALITATIVE

1.À basse fréquence

Si ω tend vers 0 alors le terme

tend vers zéro et l’expression se réduit donc essentiellement à :

A.(1/a')

Ce qui implique un gain atténué.

3.    À haute fréquence

ω tend vers l’infini alors le terme

Le terme j(ω/ ω0)domine.

L'équation se simplifie vers un comportement où le gain tend vers A

En conclusion, ce circuit présente une amplification qui augmente avec la fréquence et tend à bloquer les basses fréquences, ce qui est la signature d’un filtre passe-haut du premier ordre.

EXPRESSION DU MODULE DE LA TRANSMITTANCE

L'expression obtenue pour le module de la transmittance (gain) :

montre bien une dépendance à la fréquence f, confirmant le comportement en passe-haut du circuit.

Interprétation de la phase

La phase est donnée par :

Ce qui nous donne :

Analyse du comportement fréquentiel :

À basse fréquence (𝜔→0)

Arctan (0)=0 donc la phase 𝜑tend vers 0°.

Le gain est faible car la partie

 dans le numérateur est négligeable.

À haute fréquence (𝜔→∞)

Arctan (x)→ 2/π  quand 𝑥→∞

La phase tend vers 90° -où 𝜃 dépend du terme

 

Le gain atteint une valeur proche de son maximum.

CONCLUSION

Le circuit agit comme un filtre passe-haut avec une fréquence de coupure autour de

 

·À basse fréquence, la phase est nulle et le gain est faible.

·À haute fréquence, le gain se stabilise et la phase tend vers une valeur maximale.

Tracé du gain et de la phase

Le tracé du gain et de la phase en fonction de la fréquence peut être réalisé grâce au fichier Excel librement téléchargeable sur le site à partir du lien suivant :

Il apparait que le découplage de la cathode se comporte bien comme un filtre passe haut, la fréquence de coupure étant conditionnée par le circuit RC.

Il convient donc de choisir un condensateur pour s’assurer en audio que le montage couvre bien la bande passante de 20 Hz à 20 kHz.

Le découplage d’un étage en cathode commune n’est pas critique sauf dans le cas d’amplificateurs comportant un grand nombre d’étages en cascade. Dans ce cas un mauvais choix des constantes de temps est de nature à rendre instable l’amplificateur lors de l’application de la contre réaction globale.

Ce sujet sera traité dans le cadre d’un article à venir.

CONCLUSION

L'atténuation des basses fréquences est déterminée par la structure RC du montage.

Ce comportement est typique des étages amplificateurs avec une contre-réaction capacitive qui agit comme un réseau de correction fréquentielle, il s’agit d’un point très important que nous allons évoquer dans le calcul futur du cathode follower.