Introduction à la fonction de transfert

En électronique et en traitement du signal, la fonction de transfert est un outil fondamental permettant de caractériser le comportement dynamique d’un circuit ou d’un système. Elle est particulièrement utile pour analyser des filtres, des amplificateurs et des systèmes de contrôle.

La fonction de transfert H(jω) est définie comme le rapport entre la sortie et l’entrée du système, exprimé en fonction de la variable complexe :

 

 

où :

·     Ventrée (jω) est le signal appliqué au système,

·     Vsortie (jω) est la réponse du système,

·     jω est la variable complexe (j étant l'unité imaginaire et ωla pulsation en radians par seconde).

Cette approche permet d’analyser la réponse du circuit en fonction de la fréquence, sans se soucier directement de son comportement dans le domaine temporel. Elle aide à comprendre des notions essentielles comme l’atténuation, l’amplification, la phase, la bande passante et la stabilité d’un circuit.

Dans le domaine de l’électronique, la fonction de transfert est largement utilisée pour concevoir et optimiser les filtres (passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande) ainsi que les amplificateurs. Elle permet aussi de comprendre comment un circuit réagit aux signaux sinusoïdaux et d’anticiper son comportement dans différentes conditions d’utilisation.

Notation conventionnelle  

L’image suivante représente un quadripôle dont on recherche fonction de transfert. 

 

 

 

 

 

 

 

 

La fonction de transfert représente le rapport entre la sortie et l’entrée, elle s’exprime ainsi :

 

 

 

 

 

Il est possible d’utiliser pour des raisons de clarté ou de style pédagogique la notation H pour représenter la fonction de transfert, évitant la notation H(jω). Ceci  pour simplifier l'écriture et indiquer que celle ci contient une variable complexe. Elle s’écrit alors.

 

 

 

 

 

 

Il est d’usage que la recherche d’une fonction de transfert soit faite en considérant la sortie non chargée comme indiqué sur la figure 2. Dans cette hypothèse nous considérons que le courant de sortie est nul.  Is=0

 

Figure 2	Figure 3

 

Limite de validité de l’utilisation des nombres complexes.

 

Cette approche repose sur l’hypothèse que le système fonctionne exclusivement en régime sinusoïdal forcé, autrement dit qu’un générateur impose une excitation sinusoïdale idéale, sans distorsion. Une précaution essentielle est de s’assurer que le système étudié ne génère pas de nouvelles composantes spectrales, faute de quoi l’analyse complexe basée sur un unique fondamental deviendrait invalide.

Cette exigence exclut donc l’application des nombres complexes à des circuits non linéaires, tels que les ponts de diodes ou les étages d’amplification fonctionnant en régime non linéaire.

Figure 3	Figure 4

La figure 3 représente un filtre passe bas du premier ordre et la figure 4 un étage de détection pour la modulation d’amplitude. Il est illusoire de tenter de déterminer la fonction de transfert du quadripôle représenté en figure 4 au moyen du calcul complexe.

 

L’objet de cet article n’appelant pas à démonstration de l’extraction de la fonction de transfert, nous rappellerons simplement le cas cas d’un filtre passe-bas RC du premier ordre, nous pouvons  directement écrire la relation entrée-sortie en utilisant la division des impédances

 

Cas d’un filtre passif

 

Figure 5

 

Pour un filtre passe-bas RC du premier ordre, la fonction de transfert est donnée par :

Où :

 

·       ω=2πf est la pulsation en rad/s,

·       R et 𝐶 sont les valeurs de la résistance et du condensateur.

 

Il est possible à partir de l’expression de cette fonction de transfert de connaitre le comportement en fréquence et en phase de ce filtre comme le montre les deux courbes avec Excel.

 

Réponse en fréquence ( figure 5) .

Réponse en phase (figure 6)

 

Dans ce cas le calcul à partir de nombres complexes est possible car il est fait usage d’un circuit RC qui est un système linéaire invariant (SLI) dont les propriétés sont à la fois linéaires et invariantes dans le temps. Ceci signifie la réponse d’un tel filtre respecte les principes d’homogénéité et de superposition. En d’autres termes la réponse du filtre à une combinaison linéaire d'entrées est égale à la même combinaison linéaire des réponses individuelles à chacune des entrées. La relation ci-dessous est linéaire au sens où si l'entrée est une somme de signaux sinusoïdaux, la sortie sera également une somme de signaux sinusoïdaux aux mêmes fréquences, mais avec des amplitudes et des phases modifiées selon la fonction de transfert.

 

Si nous introduisons à l’entrée ce circuit un signal composée de deux fréquences respectivement de 1000 et 9000 Hz  figure (7) est que nous reportons sur ce spectre d’entrée la réponse du filtre (figure 5), nous constatons que spectre n’est pas enrichi au travers d’un tel filtre. Seule les amplitudes sont affectées en fonction de réponse fréquentielle du filtre. Ceci peut être exprimé mathématique comme suit :

 

avec ω1=2πf1  et ω2=2πf2, où φ1t φ2sont les phases initiales des deux fréquences.

 

Après passage dans un filtre passe-bas du premier ordre, le signal devient :

où C et D sont les amplitudes atténuées par le filtre et φ1′,φ2′ les nouvelles phases décalées.

 

On constate que seules les amplitudes A et B ont été modifiées ainsi que les phases, mais que le spectre du signal n’a pas été enrichi (aucune nouvelle fréquence n’a été générée).

 

Cela démontre la linéarité du circuit, car un système linéaire ne crée pas de nouvelles fréquences mais se contente de modifier les caractéristiques des signaux existants.

 

 

Spectre d’entrée (figure 7)	Spectre de sortie.(figure 8)

 

Cas d’un amplificateur.

 

Dans le cas d’un étage amplificateur, sa fonction de transfert peut être déterminée quelle que soit la technologie utilisée (tubes électroniques, transistors ou amplificateurs opérationnels). Pour ce faire, on adopte un modèle équivalent en supposant que l’amplificateur fonctionne en régime linéaire. Bien que celui-ci ne soit pas un quadripôle linéaire en raison de la présence de composants actifs, on considère qu'il opère toujours en deçà des seuils de distorsion et de saturation. L’analyse des circuits analogiques repose sur des modèles idéalisés afin de simplifier les calculs, mais il convient de rappeler que les équations ainsi établies ne restent valides que dans ce cadre précis.

 

La deux figure ci-dessous présentent un montage en cathode commune à partir d’une triode.

 

Montage en cathode commune (Figure 9)	Schéma équivalent en alternatif (Figure 10)

 

 

Dans ce cas la fonction de transfert exprimant le gain S/E=A’ et se présente sous cette forme.

 

 

Ce circuit présente une amplification qui augmente avec la fréquence et tend à bloquer les basses fréquences, ce qui est la signature d’un filtre passe-haut du premier ordre. Vous devez considérer ce résultat comme une très bonne approximation de son comportement en fréquence.

En revanche ces courbes sont totalement inapplicables au-delà des seuils de distorsion et de saturation.

 

Cas d’un circuit non linéaire.

 

Pour conclure, examinons le comportement d’un étage totalement non linéaire : le redressement mono-alternance, couramment utilisé pour la détection de la modulation d’amplitude.

 

 

Redressement mono alternance (Figure 11)

 

 

Un redresseur mono-alternance utilise une diode bloquant l’alternance négative du signal et constitue une non-linéarité modifiant la forme d’onde de manière non proportionnelle, par ailleurs ce circuit viole le principe de superposition. Nous consacrerons un article plus complet sur le théorème de superposition

 

Dans un système linéaire, la somme des réponses à plusieurs signaux est égale à la réponse à la somme des signaux.Avec un redresseur, ce principe ne s’applique pas, ce qui exclut l’utilisation des nombres complexes.

Comme nous l’avons vu avec le filtre passe bas du 1^er ordre, un système linéaire conserve les fréquences de l’entrée, en modifiant uniquement l’amplitude et le déphasage.

Le redressement mono-alternance génère des harmoniques (multiples de la fréquence fondamentale), ce qui empêche une modélisation simple par une fonction de transfert complexe du fait de la présence une exponentielle dans l’équation de la diode

 

L’équation de la diode suit la loi de Shockley :

 

Cette relation exponentielle renforce la non-linéarité et explique pourquoi la sortie n’est pas une simple version atténuée et déphasée de l’entrée.

L’analyse avec des nombres complexes repose sur l’hypothèse de linéarité, qui est violée dans un redresseur mono-alternance. L’exponentielle dans l’équation de la diode et l’apparition d’harmoniques empêchent l’utilisation d’une fonction de transfert classique. Il faut donc adopter d’autres méthodes comme l’analyse temporelle ou fréquentielle par Fourier. Les deux figures ci-dessous

 

 

Spectre d’entrée (Figure 12)	Spectre de de sortie (Figure 13)