15-Transformateur -Réponse en fréquence.

Introduction.

La démonstration exposée dans cet article repose sur une modélisation ignorant les non-linéarités propres à un transformateur à noyau de fer. Si cette modélisation n’est pas exhaustive, elle permet néanmoins de rendre compte du comportement d’un transformateur audiofréquences dans le domaine fréquentiel.

Une modélisation complète du transformateur incluant les non-linéarités comprenant les courants de Foucault et le phénomène d’hystérésis sortirait très largement du cadre de cet article. Nous y reviendrons à la fin de ce document. Par ailleurs, il n’est pas d’usage de faire travailler un transformateur audiofréquences en saturation même si ce phénomène peut apparaitre en basses fréquences en particulier.

Rapport de transformation.

La représentation schématique d’un transformateur ne rend pas compte des éléments parasites constitutifs celui-ci. Le symbole présenté en figure 1 renvoie plutôt à un transformateur idéal. Dans ce cas le rapport de transformation « m » exprime le rapport du nombre de tours de la self primaire (N1) et secondaire (N2). Cette affirmation suppose que le couplage entre les enroulements primaires et secondaires soit parfait et sans fuites ce qui n’est jamais le cas en pratique même avec les meilleurs transformateurs toriques.

Le rapport de transformation exprime aussi le rapport des tensions ou des courants entre le secondaire. La figure 2 présente les différentes équations du calcul du rapport de transformation « m ».

Fig-1: Transformateur à noyau.

Fig-2: Equations du rapport de transformation m

Reflet d’impédances :

Tout transformateur se comporte comme un adaptateur d’impédance, en conséquence toute impédance présentée au secondaire sera vue depuis le primaire comme une impédance équivalente multipliée par le carré du rapport de transformation « m » comme le montre les figures3 et 4.


Fig-3 : Transformateur représenté sous la forme d’un quadripôle connecté à une charge réelle	Fig-4 : Modèle équivalent d’un transformateur vu du primaire. L’impédance en sortie est vue du primaire comme étant augmentée par le carré du rapport de transformation.

La représentation d’un transformateur ramené au primaire la figure 4 simplifie énormément les calculs de la réponse en fréquence car elle permet d’étudier ce dernier comme un simple quadripôle passif.

Induction mutuelle.

Dans la mesure où un transformateur est constitué de deux selfs couplées, il est possible d’exprimer les tensions et les courants d’entrée et de sortie au moyen de l’induction mutuelle. L’induction mutuelle « M » est identique que l’on observe le transformateur depuis le primaire ou le secondaire. Si le transformateur est étudié en régime sinusoïdal forcé il est possible d’écrire un système de deux équations avec des nombres complexes.¹


Fig-5: Le transformateur représenté comme un quadripôle.	Fig-5.1 Equations liant les courants et les tensions dans un transformateur en régime sinusoïdal forcé.

Toutefois es équations liant les courants et les tensions de la figure 5.1 font totalement abstraction des non-linéarités d’un transformateur à noyau de fer.

En particulier elles occultent le phénomène d’hystérésis magnétique qui est la principale source de non-linéarité des transformateurs à noyaux de fer.

Hystérésis magnétique.

Source :Babak. K. Shandiz, CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons

Transformateur idéal vs transformateur réel.

S’il est parfaitement exact de réduire un transformateur au simple couplage d’une self primaire et secondaire, il n’en reste pas moins vrai que ces deux selfs présentent une imperfection de couplage (fuites magnétiques) et un certain nombre d’éléments parasites.

Figure 6: fuites magnétiques

Les fuites magnétiques sont symbolisées dans modèle équivalent sous la forme de selfs de fuites. La valeur de ces selfs de fuites sont souvent données dans la documentation des transformateurs audiofréquences.

Trois types de pertes existent dans un transformateur:

Les pertes « fer » liées à la fois aux courants de Foucault mais aussi au phénomène d’hystérésis contraignant par la variation du flux le fer du noyau à se réorienter. Les pertes « fer » ne sont pas linéaires et dépendent également de la fréquence. Elles sont symbolisées par une résistance en parallèle sur la self primaire.
Les pertes « cuivres » qui sont des pertes par effet joule se produisant dans les enroulements des selfs primaires et secondaires, symbolisées par des résistances en série avec les selfs.
Les pertes de couplages entre les selfs primaires et secondaires lié aux fuites magnétiques, symbolisées par des selfs de fuites au primaire et au secondaire.

Enfin les capacités parasites le plus souvent négligées dans les transformateurs d’alimentation jouent un rôle essentiel dans la limitation de la bande passante des transformateurs audiofréquences.

Modèle équivalent.

La figure 8 présente un modèle équivalent d’un transformateur à noyau de fer.

Figure 7

Symbole transformateur

Figure 8

Modèle équivalent du transformateur

Les différences entre un transformateur audiofréquences et d’alimentation portent pour l’essentiel sur la gamme de fréquences d’utilisation, effet celui-ci doit pouvoir être utilisé à minima entre 20 Hz et 20 kHz si l’on considère les critères retenus en haute-fidélité.

Nous verrons dans les chapitres traitant de la contre réaction que cette plage d’utilisation n’est certainement pas suffisante pour permettre la réalisation d’un montage stable.

Couvrir trois décades (entre 20Hz et 20 kHz) impose que les capacités parasites ne puissent plus être ignorées dans un modèle équivalent.

Il est possible de réduire ce modèle équivalent à une version plus simple vue du primaire figure 10. Dans ce modèle nous négligerons la résistance de perte fer du fait qu’en principe un transformateur audiofréquences utilisé en régime nominal ne doit jamais entrer en saturation. Il est important de noter tout de même que la saturation d’un transformateur se produit dans certaines conditions en particulier en basses fréquences mais nous écarterons cette hypothèse afin de résoudre le problème de réponse d’un transformateur en le supposant linéaire.

La figure 9 représente le modèle équivalent d’un transformateur. Ce modèle repose sur deux selfs couplées auxquelles il a été ajouté l’ensemble des éléments parasites à savoir:

Les résistances séries des selfs primaires et secondaires.
Les selfs de fuites primaires et secondaire
Une résistance « perte fer » en parallèle avec la self
Des capacités parasites entre les spires des selfs et entre les enroulements primaire et secondaire.

Le modèle de la figure 9 donne des résultats assez proches du comportement d’un transformateur réel tout en faisant abstraction des non-linéarités.

S’il constitue une très bonne approximation, il est assez malaisé à utiliser car il impose la prise en compte l’induction mutuelle et en pratique le recours à la loi des nœuds en termes de potentiels. Enfin l’induction mutuelle est rarement communiquée. Il est possible de l’extraire expérimentalement à partir de la connaissance du rapport de transformation « m » et de la connaissance de la valeur de l’inductance primaire comme nous l’avons exposé dans la vidéo 57 de la chaine YouTube.

Il est plus expédient de faire usage d’un modèle ramenant l’ensemble des éléments parasites vus du primaire. Ce modèle est infiniment plus simple à manipuler. Dans ce cas le transformateur peut être comme un simple filtre dont il sera aisé d’extraire la fonction de transfert et ainsi de comprendre son comportement en fréquence.

La figure 10 montre ce modèle qui se réduit à quatre composants passifs comme suit :

Une résistance « R » représentant la résistance ohmique des enroulements primaires et secondaire.
Un self de fuite globale représentant la self de fuite « LF » primaire et secondaire.
Enfin une capacité parasite globale « C » représentant à la fois les capacités entre les spires des selfs primaire et secondaire mais aussi la capacité inter enroulements. Il est possible de réduire l’ensemble des capacités parasites à un seul élément en parallèle avec la self primaire. ²

Il est à noter que le modèle de la « figure 10″ néglige la résistance de perte fer du fait que le transformateur n’est pas supposé être utilisé dans un régime de saturation. Les pertes fer peuvent être en conséquence négligée, cela ne serait pas le cas si cette étude était conduite avec un transformateur d’alimentation et si l’on souhaitait prendre en compte son rendement.


Fig-9 : Modèle équivalent transformateur	Fig-10: Modèle équivalent vu du primaire.

Couplage avec les tubes de sortie.

Au cas particulier d’un amplificateur à tubes, un transformateur audiofréquences est utilisé en sortie. Il remplit une double fonction, adapter l’impédance de sortie des tubes, mais aussi délivrer des tensions compatibles avec l’usage d’un haut-parleur électrodynamique. Il s’agit en conséquence d’un transformateur abaisseur de tension.

Les deux schémas ci-dessous présentent deux types de couplages classiques entre les tubes et un transformateur de sortie.


Fig-11: Couplage tube unique	Fig-12: Couplage triode en push pull.

Les figures 11 & 12 représentent les deux façons les plus courantes de coupler les tubes de sortie avec le transformateur. Pour la clarté de la démonstration nous nous limiterons à des couplages en triode en excluant la configuration ultra-linéaire. ³

Nous pouvons alors dresser un modèle équivalent vu du primaire (figure 13).

Fig-13 : Modèle équivalent d’un transformateur chargé et connecté à une triode.

Afin de simplifier les calculs nous allons remplacer la résistance interne de la triode « ρ » et la résistance de la self primaire « RI » ceci n’affectant en rien notre démonstration attendu que ces deux résistances se trouvent en série. Nous la remplacerons par une unique résistance ou R= RI +ρ

Il est à noter que ce modèle équivalent représente le transformateur de sortie avec une charge constituée du haut-parleur. La charge au secondaire se retrouve reportée au primaire multiplié par le carré du rapport de transformation « m ».

Pour en terminer avec l’ensemble de ces prérequis nous devons indiquer également que considérer une faible excursion imposée l’étage à triode. En effet les modèles équivalents des triodes considéré comme générateur de Thévenin ne sont vrais et linéaires uniquement dans une plage de variation de tension assez faible. ⁴

Ces prérequis vont nous permettre de nous livrer à cette étude au moyen de la notation complexe, mais ils correspondent aussi à la façon de conduire des tests de qualification d’un amplificateur en laboratoire en régime sinusoïdal forcé. Enfin avant d’étudier le comportement du transformateur chargé au secondaire, nous allons rechercher sa fonction de transfert en considérant l’absence de charge et donc de courant en sortie de ce dernier.

Dans ce cas le modèle équivalent se résume simplement à quatre composants passifs comme le montre la figure ci-dessous:

Fig-14 modèle équivalent non chargé.

Calcul de la fonction de transfert.

Considérons d’abord l’impédance équivalente constituée de la self primaire « LP » et du condensateur « C », nous appellerons cette impédance « Z ». (Figure15)

Fig-15 Calcul de l’impédance Z

Pour calculer la fonction de transfert nous pouvons alors utiliser l’équation du pont diviseur attendu qu’aucun courant ni tiré en sortie de ce modèle.

Il vient :

Calculons maintenant l’impédance Z et son admittance Y composée de la self primaire LP et du condensateur parasite C.

Divisons maintenant le numérateur et le dénominateur de l’équation (1) par Z.

Il vient:

Remplaçons dans cette équation l’admittance Y calculée en (3), il vient:

La fonction de transfert (12) peut naturellement être totalement étudiée classiquement mais nous allons voir comment à partir de trois approximations nous allons pouvoir comprendre le comportement d’un transformateur audiofréquences.

Comportement en fréquence

Nous allons prendre pour exemple un le schéma ci-dessous qui constitue un étage de sortie à tube (EL84) unique d’un amplificateur élémentaire couplé à un transformateur de faibles performances. Nous avons déjà décrit cet amplificateur élémentaire dans nos précédentes vidéos. ( Figure 16)

Fig-16: Exemple à partir d’un étage à tube unique.

Nous allons prendre pour exemple un étage de sortie à tube unique constitué d’un tube EL84 polarisé en classe A. Nous avions déjà décrit cet amplificateur élémentaire dans nos précédentes vidéos.

Nous allons prendre en compte trois bandes de fréquences pour conduire notre raisonnement.

Fig-17: Bandes de fréquences

Dans un premier temps nous pouvons donner des valeurs aux composants de notre modèle équivalent:

Fig-17: modèle équivalent de la figure 16 ramené au primaire.

Calculons les différentes réactances de la figure 17 aux fréquences basses, intermédiaires et hautes.

	Basses Fréquences 100 Hz	Fréquences Intermédiaires 1000 Hz	Hautes Fréquences 10 kHz
R	2300Ω	2300Ω	2300Ω
C	1.5 MΩ	159kΩ	15kΩ
LP	2.82kΩ	28kΩ	282 kΩ
LF	35Ω	352Ω	3,5kΩ

Réponse en Basses fréquences

Observons les valeurs en basses fréquences. Il est possible de négliger les valeurs du condensateur « C »(1.5 MΩ et de la self de fuite LF (35Ω) dans ces conditions le modèle équivalent de la figure 17 peut être réduit à la résistance et à la self primaire. Le montage se comporte en basses fréquence comme un filtre passe haut du 1er ordre.


Fig-18 : Modèle en basse fréquence

Il est possible de tracer directement la réponse en fréquence et en phase d’un filtre passe haut du 1er ordre. La réponse d’un tel filtre est de 20dB par décade et la phase varie entre +90° et 0° ce qui nous donne les courbes suivantes de réponse en phase et en fréquence.


*Fig-19:* Réponse en Basses Fréquences	*Fig-20 :* Réponse en phase

Réponse en fréquences intermédiaires.

En fréquence intermédiaires nous pouvons négliger la self de fuite mais nous ne pouvons pas négliger le condensateur parasite. Le modèle équivalent devient alors le suivant:


*Fig-19:* Modèle équivalent en fréquences intermédiaires

Le circuit constitué de la self primaire « LF », de la résistance « R « du condensateur parasite « C ». Il se comporte alors comme un circuit bouchon dont l’impédance est infinie à la résonance. Dans la pratique le concepteur du transformateur s’arrange en jouant sur des paramètres, tels que les tôles, la façon de bobiner le transformateur afin que le facteur de qualité du filtre ainsi constitué rende pas le transformateur sélectif.

La phase est donc nulle dans ce cas sur une large bande passante.

Les réponses en fréquence et en phase en fréquences intermédiaires sont les suivantes :


*Fig-20:* Réponse en fréquences intermédiaires

Réponse en hautes fréquences.

En hautes fréquences ni la self de fuite « LF » ( 3,5kΩ) ni le condensateur « C » (15kΩ) ne peuvent être négligés, en revanche à ces fréquences la réactance de la self primaire « LP » (282 kΩ) est telle qu’elle peut être ignorée. Le modèle équivalent se résume alors à un simple circuit RLC série.


*Fig-20:* Modèle en hautes fréquences.	Fonction de transfert en haute fréquences

Nous avons dans ce cas un filtre du deuxième ordre qui va présenter une surtension à la résonance entre la self de fuite « LF » et le condensateur parasite « C ». La pente de ce filtre sera de 40 dB par octave la phase passant alors de 0° à -180°

La réponse en hautes fréquences est la suivante:


*Fig-21:* réponse en hautes fréquences

Réponse en fréquence totale.

Il est maintenant possible à partir des trois précédents modèles équivalents de tracer la réponse en fréquence totale d’un transformateur audiofréquences.


Fig-22: Réponse du transformateur en fréquence et en phase.

Conclusion sur un transformateur non chargé.

Sans surprise la réponse en basses fréquences du transformateur dépend à la fois de la self primaire, de la résistance de l’enroulement mais aussi de la résistance interne du tube couplé à ce dernier.

La réponse dans les fréquences intermédiaire est conditionnée à la fois par la résistance interne du tube, par la résistance de l’enroulement primaire. Le facteur de qualité du circuit bouchon constitué par le condensateur parasite et la self primaire conditionne une réponse constante et une phase nulle.

En haute fréquence en revanche la réponse dépend essentiellement du condensateur parasite et de la self de fuite.

Il apparait donc que les performances de la réponse en fréquence d’un amplificateur à tubes sont totalement et pratiquement totalement conditionnée par la qualité du transformateur de sortie.

Il est donc très difficile de réaliser un amplificateur en classe A à tube unique avec une bonne réponse en basse fréquences. En effet avant de s’affranchir de la saturation du transformateur ce dernier doit impérativement disposer d’un entrefer. En conséquence il est très difficile voire impossible d’obtenir des fortes valeurs pour l’inductance primaire. Il est vain de penser améliorer les performances en basse fréquence en augmentant la valeur des condensateurs de liaison. Cette pratique est non seulement inutile mais elle risque d’engendrer de la distorsion de blocage.

La phase passe de +90° à -180° avec une surtension à la résonnance entre la self de fuite et le condensateur parasite. Ces rotations de phases complexifient l’application d’une contre réaction sur les amplificateurs à tubes expliquant l’impossibilité d’appliquer un très forte contre réaction sans risque d’instabilité.

Réponse du transformateur chargé:

Il nous reste à observer le comportement en phase en fréquence d’un amplificateur à tubes lorsque son transformateur est chargé par un haut-parleur, ce qui est son fonctionnement nominal.

Fig-23

En utilisant la même méthode que celle décrite pour l’extraction de la fonction de transfert et en considérant que la charge secondaire est reflétée au primaire multiplié par le carré du rapport de transformation il vient:

Fig-24 :Fonction de transfert du transformateur chargé vu du primaire.

Il s’avère que charge au secondaire amortit la surtension toutefois les rotations de phases et les pentes restent identiques à savoir 20dB par décade en basse fréquence et 40 dB par décade en haute Les difficultés d’application d’une forte contre-réaction au cas particulier des amplificateurs à tubes restent identiques. Nous aurons l’occasion d’aborder ce sujet dans le chapitre concernant les conditions de stabilité des amplificateurs.

Fig-25 Réponse du transformateur chargé au secondaire.

Simulation d’un transformateur sous ltspice®.

Nous allons maintenant si le simulateur ltspice® infirme ou confirme la méthode par approximations successives utilisé.

Il existe plusieurs façons de simuler un transformateur sous ltspice® la façon la plus simple est de considérer le transformateur comme deux selfs couplées en introduisant dans la directive de simulation le coefficient de couplage comme suit.

De manière pratique il est nécessaire à minima de connaitre la self primaire le rapport de transformation pour pouvoir écrire correctement la directive de simulation. Il est aussi possible de calculer ce coefficient en connaissant la self primaire et la self de fuite globale. Nous aurons l’occasion d’exposer plus avant les directives de simulation dans un chapitre dédié.

La figure ci-dessous représente le modèle équivalent du transformateur ramené au primaire sans charge au secondaire.

Nous constatons que la simulation faite sous ltspice® confirme la pertinence de notre approche par approximations successives.

Nous pouvons maintenant tenter de vérifier si nous pouvons nous appuyer sur le logiciel ltspice® en comparant le modèle équivalent et une simulation complète incluant la triode.


Fig-26 : Modèle équivalent transformateur ramené au primaire chargé	Fig-27 : simulation d’un étage final du transformateur reflétant au primaire un impédance de 3500 Ω

Fig-28 : Comparaison des réponses en phase en fréquence entre le modèle équivalent et une simulation incluant la triode et le transformateur.

La figure 28 montre que les résultats obtenus sont quasiment identiques entre le modèle équivalent (figure26) et une simulation incluant la triode.

Les différences mineures entre les courbes s’expliquent aisément. D’une part la simulation avec la triode intègre les capacités de liaisons et de découplage, l’effet Miller de la triode.

Peut-on s’appuyer sur une simulation ltspice® dans le cadre de la conception d’un amplificateur à tubes ?

La réponse à cette question est à nuancer. Nous avons dans cet article que les modèles équivalents composés d’éléments passifs sont pertinents pour rendre compte du comportement en fréquence d’un transformateur audiofréquences. Ils font en revanche totalement abstraction des non-linéarités liées au noyau des transformateurs. (Saturation, courants de foucaults etc.).

Tous les modèles basés sur le simple couplage de deux selfs induction présentent donc exactement les mêmes limitations que les modèles ramenant l’ensemble des éléments au primaire. Il est donc illusoire d’envisager de tirer des conclusions pertinentes concernant la distorsion d’un amplificateur, même s’ils restent d’une aide précieuse avant tout maquettage d’un montage.

Il existe cependant des modèles plus complets tenant compte des non-linéarité et de la saturation des noyaux. La simulation utilisant le modèle CHAN donne d’excellents résultats. Hélas elle nécessite une connaissance fine et précise des différents paramètres d’un transformateur à noyau ferromagnétique, informations assez difficiles à obtenir des constructeurs ou à mesurer. La figure suivante montre la modélisation de type CHAN.

Jean-Marc CAVALIER LACHGAR

Πόλις Χρυσοχούς

Février 2022

Attribution – Pas d’Utilisation Commerciale – Pas de Modification
CC BY-NC-ND

plus d’information sur la licence :

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/legalcode.fr

Notes et compléments;

1. Dans le cas où l’on souhaiterait étudier le transformateur en régime transitoire il conviendrait de remplacer la notation complexe par les deux équations différentielles suivantes:

2. La démonstration expliquant la substitution de l’ensemble capacités parasites par une seule capacité se de déduit d’un calcul d’électrocinétique assez long au moyen de la loi des nœuds en termes de potentiel qui demanderait un article complet. Il est à noter que la valeur de cette capacité parasite est très rarement communiquée par les constructeurs de transformateurs. Par ailleurs il est illusoire de tenter d’en mesurer la valeur avec un capacimètre. Elle peut être en revanche extraite par le calcul après la mesure de la réponse en fréquence d’un transformateur audiofréquences.

3. Il est parfaitement possible de faire une analyse du comportement en fréquence d’un transformateur couplé en ultra-linéaire. Toutefois le modèle équivalent du transformateur doit intégrer une self primaire complémentaire et un parfait modèle équivalent d’une tétrode ou d’une pentode. Or les modèles de ces tubes s’avèrent rapidement assez complexes comprenant plusieurs générateurs de courants. Dans cette hypothèse le calcul matriciel à partir de quadripôles ou de multipôles. Avant de nous lancer dans une telle démarche nous présenterons sur le site des rappels sur le calcul matriciel.

4. Le modèle d’une triode ou d’une pentode ramené à un simple générateur de Thevenin ou de Norton n’est vrai que si l’on considère ces tubes comme des quadripôles strictement linéaires. Or aucun tube à vide n’est linéaire. L’équation fondamentale d’une triode est non linéaire. Ia=A(μVg+Va)^3/2

L’étude d’une fonction de transfert au moyen du calcul complexe ne peut se concevoir qu’avec des éléments linéaires, en conséquence nous devons impérativement retenir comme hypothèse une faible excursion sur les tubes. Cette hypothèse n’est pas complètement hors de propos d’un point de vue pratique. En effet il n’est pas d’usage de qualifier un amplificateur quand ce dernier entre des régimes fortement non linéaire. En saturation pour des amplificateurs à l’état solide, ou en mode bloqué et en courant grille pour des amplificateurs à tubes.